Καλώς ήλθατε

Συνδεθείτε ή εγγραφείτε ως Μέλη, προκειμένου να σχολιάσετε αναρτημένα άρθρα, slides κλπ ή/και να διατυπώσετε τις δικές σας απόψεις για οποιοδήποτε θέμα τεχνικού ενδιαφέροντος.

Τετάρτη, 01 Απριλίου 2020

Το οστομάχιον είναι μια επινόηση του Αρχιμήδη, που συνιστά συγχρόνως μαθηματικό πρόβλημα και παιχνίδι. Δεν γνωρίζουμε σε ποιόν, κυρίως, σκοπό από τους δύο απέβλεπε ο Αρχιμήδης.

Οστομάχιον Επιμέλεια: Θ. Βουδικλάρης Πολιτικός ΜηχανικόςΤο «οστομάχιον» είναι μια “επινόηση” του Αρχιμήδη, που συνιστά συγχρόνως μαθηματικό πρόβλημα και παιχνίδι. Δεν γνωρίζουμε σε ποιόν, κυρίως, σκοπό από τους δύο απέβλεπε ο Αρχιμήδης. Από σφάλμα στις διαδοχικές αντιγραφές του πρωτοτύπου, κυρίως των αραβικών (αλλά και των ελληνικών) χειρογράφων, φέρεται με το όνομα «στομάχιον» και το σφάλμα επαναλαμβάνεται, μερικές φορές, ακόμη και σήμερα. Ο Δανός μελετητής Johann Heiberg διεπίστωσε ότι ο Ρωμαίος συγγραφέας Ausonius (310 - 395 μ.Χ.) το ονομάζει, ορθώς, «οστομάχιον» (“quod Graeci ostomachion vocavere”) και η ορθή ονομασία αναγνωρίστηκε και επικράτησε. Φέρεται ακόμα και ως «το κουτί του Αρχιμήδη» (loculus Archimedius) και επίσης με το όνομα «πρόβλημα του Αρχιμήδη». Έχει διατυπωθεί η άποψη (Heath 1897 και Dijksterhuis 1987) πως, ότι φέρει το όνομα «Αρχιμήδειο πρόβλημα», δείχνει μόνον ότι χρειάζεσαι πολύ μεγάλες ικανότητες για να το λύσεις, χωρίς να σημαίνει με βεβαιότητα ότι το πρότεινε ο Αρχιμήδης. Η λέξη οστομάχιον συντίθεται από τις λέξει οστούν και μάχη και επομένως σημαίνει τη μάχη των οστών ή μάχη με τα οστά.. Ως παιχνίδι, το οστομάχιο μοιάζει με το (της μόδας σήμερα) κινέζικο τάγκραμ και δικαιολογεί το όνομά του. Ο παίκτης έχει στη διάθεσή του 14 «οστάρια», ήτοι κοκκάλινα, μικρά γεωμετρικά σχήματα (μάλλον από ελεφαντόδοντο), σαν αυτά που φαίνονται στο ανωτέρω σχήμα, τα οποία προκύπτουν από τον διαχωρισμό ενός τετραγώνου με τον τρόπο που προσδιορίζεται πιο κάτω. Εκ των 14 σχημάτων τα 11 είναι τρίγωνα, τα 2 τετράπλευρα και ένα πεντάπλευρο. Φαίνεται ότι το παιχνίδι ήταν αρκετά δημοφιλές στην αρχαιότητα. Ο παίκτης, ανταγωνιζόμενος τον εαυτό του ή άλλον παίκτη, προσπαθεί να ανασυνθέσει το αρχικό (τετράγωνο) σχήμα από τα οστάρια ή να συνθέσει με αυτά όσες φιγούρες μπορεί περισσότερες ή να φτιάξει μια φιγούρα, ταχύτερα από τον αντίπαλο. Ίσως το οστομάχιο είναι ο (πιο απαιτητικός) πρόγονος του τάγκραμ, το οποίον παίζεται με 7 μόνον γεωμετρικά σχήματα. Τα γεωμετρικά σχήματα (και στα δύο παιχνίδια - τα οστάρια στο οστομάχιο) είναι τμήματα της επιφανείας ενός τετραγώνου το οποίον, στο παιχνίδι του Αρχιμήδη, χωρίζεται «βασικά» με τον τρόπο που δείχνει το επόμενο σχήμα. Η λέξη «βασικά» χρησιμοποιήθηκε επειδή το οστομάχιο κρύβει και μια άλλη μορφή «μαθηματικού» παιχνιδιού, που συνίσταται στο να ξαναφτιάξει ο παίκτης το τετράγωνο, με διαφορετική τοποθέτηση των οσταρίων. Αυτό έχει θεωρηθεί ως πρώιμη μορφή συνδυαστικής αναλύσεως, κατά την οποία μελετώνται οι δυνατοί εναλλακτικοί τρόποι επιλύσεως ενός μαθηματικού προβλήματος, αυτής της μορφής.σελ. 1 / 5 Η σχεδίαση του σχήματος είναι ευχερής. Το σημείο Μ είναι το μέσον της ΑΛ. Η ΗΚ έχει την διεύθυνση της HA και η ΣΟ έχει την διεύθυνση της ΒΣ.Τα σημεία Θ, Κ, Λ, Μ, ... , Τ, Φ του διπλανού σχήματος είναι κόμβοι του πλέγματος. Οι αριθμοί με κόκκινο χρώμα δείχνουν το εμβαδόν της επιφανείας κάθε επί μέρους τμήματος αν ως "μονάδα" χρησιμοποιηθεί το στοιχειώδες τετράγωνο με πλευρά ίση προς το 1/12 της πλευράς του αρχικού τετραγώνου.Τρόποι ανασυνθέσεως του τετραγώνου Πρώτος ο Reviel Netz, καθηγητής της κλασικής φιλολογίας στο Πανεπιστήμιο του Stanford συνειδητοποίησε ότι υπάρχει η δυνατότητα ανασυνθέσεως του τετραγώνου με διαφορετική τοποθέτηση των 14 γεωμετρικών σχημάτων του αρχικού. Ο μαθηματικός και συστημικός αναλυτής Bill Cutler από το Illinois διεπίστωσε ότι υπάρχουν 536 τέτοιοι διαφορετικοί τρόποι, χωρίς να διευκρινίσει αν στις συνθέσεις αυτές έχει χρησιμοποιήσει τα ανάστροφα ή και τα κατοπτρικά ή και τα συμμετρικά σχήματα, ή μόνον την περιστροφή των βασικών. Ο αριθμός των δυνατών συνθέσεων ποικίλλει σημαντικά, ανάλογα με αυτές τις παραδοχές. Παρατίθενται μερικές τέτοιες δυνατότητες ανασυνθέσεως του τετραγώνου.σελ. 2 / 5 Το μαθηματικό πρόβλημα Το κυρίως μαθηματικό πρόβλημα που τίθεται με το οστομάχιον είναι η απόδειξη ότι τα εμβαδά των επιφανειών των επί μέρους γεωμετρικών σχημάτων βρίσκονται σε απλή αναλογία μεταξύ τους και προς το εμβαδόν του συνολικού τετραγώνου, ήτοι: αναλογία 1:48 (για τα τρίγωνα 2 και 9), 2:48 (για τα τρίγωνα 4, 6, 10 και 13), 3:48 (για το κομμάτι 3), 4:48 (για τα κομμάτια 5, 7, 11, 12, και 14), 7:48 (για το κομμάτι 8) και 8:48 (για το κομμάτι 1). Τα 13 εκ των 14 κομματιών (πλην του κομματιού 8) είναι ακέραια υποπολλαπλάσια του συνολικού τετραγώνου. Και πάντως και το κλάσμα 7/48 είναι άθροισμα του ημίσεως των κλασμάτων 1/6 και 1/8, ήτοι 7/48 = 1/2x1/6 + 1/2x1/8. Μέρος του προβλήματος είναι και ο υπολογισμός της επιφανείας κάθε επί μέρους γεωμετρικού σχήματος, το αποτέλεσμα του οποίου εμφανίζεται πιο πάνω, δίπλα στο βασικό σχήμα, με εφαρμογή του θεωρήματος του Pick*. Το πρόβλημα αναφέρεται στο αραβικό κείμενο που μετέφρασε στα γερμανικά ο Heinrich Suter (Archimedes opera omnia, vol. 2, s. 420 ff., ed. J. L. Heiberg, Leipzig 1881). Ανακαλύφθηκε επίσης, στα ελληνικά, μεταξύ των κειμένων του παλίμψηστου. Τα δύο κείμενα δεν συμπίπτουν απολύτως, δείχνοντας πόσο μπορούν να διαφοροποιήσουν (ή και να παραμορφώσουν) οι διαδοχικές αντιγραφές το μητρικό κείμενο, ιδιαίτερα όταν η αντιγραφή γίνεται συγχρόνως με μετάφραση σε άλλη γλώσσα, ενδεχομένως και με τη διάθεση του αντιγραφέα να αυτενεργήσει.*Με το θεώρημα του Pick (1859 - 1943) υπολογίζεται το εμβαδόν της επιφανείας ενός πολυγώνου, του οποίου οι κορυφές βρίσκονται στους κόμβους ενός τετραγωνικού πλέγματος, επί τη βάσει του αριθμού (i) των κόμβων που βρίσκονται στην περίμετρο του σχήματος και του αριθμού (b) των κόμβων που βρίσκονται μέσα στο πολύγωνο: A = i + b/2 - 1 σελ. 3 / 5 Σύνθεση πολυγώνων Η συνεχής μεταγενέστερη, σύγχρονη μελέτη του οστομάχιου του Αρχιμήδη έδειξε ότι είναι δυνατόν να συντεθούν με τα οστάρια και άλλα, κυρτά, γεωμετρικά σχήματα, πλην του τετραγώνου, τόσο περισσότερα σε αριθμό όσο μικρότερος είναι ο αριθμός των πλευρών. Το μεγαλύτερο τέτοιο σχήμα που έχει επιτευχθεί είναι το δεκάπλευρο. Tο “Οστομάχιον” μπορεί να δώσει 3 διαφορετικά τρίγωνα, 58 τετράπλευρα (τετράγωνο, ρόμβος, ορθογώνια, τραπέζια κ.λπ.), 104 πεντάγωνα, 198 εξάγωνα, 181 επτάγωνα, 82 οκτάγωνα, 10 εννιάγωνα και 1 δεκάγωνο. Με τη βοήθεια τού προγραμματιστικού αλγορίθμου Logelium απεδείχθη ότι το Οστομάχιον μπορεί να δώσει 637 διαφορετικά κυρτά πολύγωνα. Κάθε μια μορφή πολυγώνου από τις 637 μπορεί να κατασκευαστεί με διαφορετικούς συνδυασμούς, που ο αριθμός τους συνήθως ποικίλλει από λίγες δεκάδες έως πολλές εκατοντάδες. Ο συνολικός αριθμός συνδυασμών ανέρχεται στις δέκα χιλιάδες περίπου. Και όλα αυτά χωρίς τις συμμετρίες, μαζί με τις συμμετρίες ο αριθμός ανεβαίνει στους 17.152.Δεν γνωρίζουμε αν ο Αρχιμήδης είχε κατά νουν ή είχε θέσει και τέτοια απαίτηση στους επίδοξους λύτες του προβλήματος.Φιγούρες Ως προς τις φιγούρες που μπορούν να δημιουργηθούν με τα οστάρια του παιχνιδιού ή που έχουν δημιουργηθεί μέχρι σήμερα, ο Ausonius και άλλοι αναφέρουν τις επόμενες, μερικές εκ των οποίων παρουσιάζονται σχηματικώς: · · · · · ·· · · · · ·μια περικεφαλαία μια χήνα που πετάει ένα πύργο μια κολώνα ένα ελέφαντα ένα αγριογούρουνοσελ. 4 / 5ένα σκυλί που γαβγίζει ένα κυνηγό που παραμονεύει ένα πολεμιστή ένα δέντρο ένα ξίφος ένα πλοίο κ.ά. Ο James Gow στο βιβλίο του “Short History of Greek Mathematics” (1884) θεωρεί ότι η επανατοποθέτηση των οσταρίων για τον σχηματισμό του τετραγώνου εχρησιμοποιείτο (και μπορεί να χρησιμοποιηθεί και σήμερα) για την άσκηση και την ανάπτυξη της μνήμης των νέων.σελ. 5 / 5
Εισάγετε το όνομά σας. *
Εισάγετε το e-mail σας. *
Μήνυμα
Κάντε ένα σχόλιο για το άρθρο. Το μήνυμα σχολίου σας θα δημοσιοποιηθεί μετά από έγκριση από την αρμόδια Επιτροπή.
*

Σφάλμα

Εισάγετε το όνομά σας.

Σφάλμα

Εισάγετε το e-mail σας.

Σφάλμα

Εισάγετε μήνυμα σχολίου.

Σφάλμα

Προέκυψε ένα λάθος κατά την αποστολή του σχολίου σας, παρακαλώ δοκιμάστε ξανά αργότερα.

Μήνυμα

Το μήνυμα σχολίου απεστάλη επιτυχώς. Θα δημοσιευτεί το συντομότερο δυνατό μετά την έγκριση του από την αρμόδια Επιτροπή.