Καλώς ήλθατε

Συνδεθείτε ή εγγραφείτε ως Μέλη, προκειμένου να σχολιάσετε αναρτημένα άρθρα, slides κλπ ή/και να διατυπώσετε τις δικές σας απόψεις για οποιοδήποτε θέμα τεχνικού ενδιαφέροντος.

Τρίτη, 10 Δεκεμβρίου 2019

Απόσπασμα από το βιβλίο των  Άρη Χατζηδάκη και Ζωής Εύδου για τα Λίθινα γεφύρια του Νομού Ρεθύμνης, ΤΕΕ/ΤΔΚ 2003

ΣΤΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΛΙΘΙΝΩΝ ΓΕΦΥΡΩΝ ΜΙΑ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑ∆ΡΟΜΗ Στα πλαίσια του ενδιαφέροντος για την εξέλιξη της τεχνικής γνώσης των "γεφυροποιών", έχουν θέση στην εργασία αυτή µερικά στοιχεία που αφορούν την εξέλιξη των στατικών γνώσεων για τις λίθινες τοξωτές κατασκευές. Το θέµα δεν αφορά βέβαια µόνο τις γέφυρες αλλά όλες τις τοξωτές κατασκευές δηλαδή ένα βασικό φορέα, µοναδικό στοιχείο γεφύρωσης σηµαντικών ανοιγµάτων µε λίθινο υλικό. Ασφαλώς οι γέφυρες, λόγω του µεγέθους των προς γεφύρωση ανοιγµάτων, των αυξηµένων φορτίων καθώς και των συνθηκών θεµελίωσης, αποτελούν την πιο δύσκολη περίπτωση λίθινων τόξων. Κάθε προσπάθεια κατανόησης των κατασκευών αυτών θα πρέπει να βασίζεται στον τρόπο που οι κατασκευαστές τους τις είχαν συλλάβει και όχι στη σηµερινή µας θεώρηση µέσω της θεωρίας της ελαστικότητας. Θα πρέπει ίσως να µάθουµε να διακρίνουµε µέσα στην τοξωτή κατασκευή µερικούς απλούς ιδεατούς µηχανισµούς (κατάλληλα διατεταγµένο σύστηµα µοχλών ή σφηνών) που σκοπό είχαν να προβλέψουν την συµπεριφορά της κατασκευής και τον τρόπο αστοχίας για την συναγωγή κανόνων σχεδιασµού. Είναι γνωστό ότι µια στατική θεωρία των τόξων που να οδηγεί σε ποσοτικούς όρους δεν εµφανίστηκε µέχρι το τέλος του 17ου αιώνα. Αλλά και αφού εµφανίστηκε παρέµεινε επί δεκαετίες υπόθεση λίγων επιστηµόνων και η ενσωµάτωση των θεωριών αυτών στον εξοπλισµό του µηχανικού της πράξης χρειάστηκε πάνω από έναν αιώνα ακόµα. Είναι όµως επίσης γνωστό ότι βασικές πλευρές της στατικής συµπεριφοράς τους ήταν από πολύ παλιά γνωστές και καθοδηγούσαν την κατασκευαστική πρακτική. Για παράδειγµα στο έκτο από τα ∆έκα βιβλία της Αρχιτεκτονικής, ο Βιτρούβιος µιλάει για την ώθηση που τα τόξα εξασκούν στους τοίχους και τα βάθρα τους. Η κατασκευαστική εµπειρία και η στατική διαίσθηση καλλιεργηµένες µέσα από αιώνες τριβής µε τα φυσικά υλικά και τη διαδικασία δοκιµής και ελέγχου των κατασκευών, οδήγησαν σε αξιοθαύµαστες κατασκευές πολύ πριν την εµφάνιση και συστηµατοποίηση της επιστήµης της µηχανικής. Οι λεπτές ισορροπίες που πέτυχαν µε τα οξυκόρυφα τόξα και τους θόλους µε νευρώσεις, οι κατασκευαστές των γοτθικών ναών, δείχνουν µια αρκετά καλή γνώση της στατικής λειτουργίας του τόξου. Σύµφωνα µε τον Violet le Duc οι κατασκευαστές του Μεσαίωνα κατείχαν µια επεξεργασµένη θεωρία, αυτή που θέλει την µορφή του τόξου να πλησιάζει προς την µορφή της καµπύλης των πιέσεων. Σε αυτή την εποχή αποδίδεται και ο παρακάτω εµπειρικός τρόπος καθορισµού του πάχους των βάθρων ανάλογα µε τη µορφή του τόξου.Το ηµικύκλιο ή το οξυκόρυφο τόξο χωρίζεται σε τρία ίσα µέρη. Η τοµή του ηµικύκλιου ακτίνας DC µε την κατακόρυφο ορίζει το πάχος του βάθρου. Η διαστασιολόγηση των τόξων µε γεωµετρικές µεθόδους και κανόνες υπήρξε ο µόνος τρόπος που χρησιµοποιήθηκε µέχρι πρόσφατα. Η αντίληψη που κυριαρχούσε, που πρώτος αµφισβήτησε ο Γαλιλαίος, ότι κατασκευές γεωµετρικά όµοιες έχουν και τις ίδιες στατικές ιδιότητες έκανε τον Leon Batista Alberti να διαβεβαιώνει για την απόλυτη ασφάλεια του ηµικυκλικού τόξου, και, τους διάφορους θεωρητικούς της Αρχιτεκτονικής να καθορίζουν την µορφή του τόξου και τις αναλογίες των διαφόρων µελών της κατασκευής µε καθαρά γεωµετρικό τρόπο, χρησιµοποιώντας κριτήρια αισθητικά, συµβολικά ή ρυθµολογικά από την κλασσική παράδοση. Εκείνο που κάνει εντύπωση είναι η απουσία κάθε αναφοράς στην στατική και την αντοχή των κατασκευών αυτών. Εξαίρεση αποτελεί ο Leonardo Da Vinci - ανάµεσα στις σηµειώσεις και τα σκίτσα του συναντά κανείς παρατηρήσεις και νύξεις που θα αναπτυχθούν αιώνες αργότερα. Φαίνεται πως προσπάθησε να υπολογίσει µε πειραµατικό τρόπο την ώθηση των τόξων, ενώ σαν κανόνα διαστασιολόγησης πρότεινε: "το τόξο δεν θα καταρρεύσει αν η χορδή του εξωραχίου του µισού τόξου, ο δεν αγγίζει την καµπύλη του εσωραχίου". Τον κανόνα αυτό θα χρησιµοποιήσει τον 18 αιώνα και o Couplet. Τα πρώτα σοβαρά βήµατα για την δηµιουργία µιας στατικής θεωρίας των τόξων γίνονται από το Γάλλο αστρονόµο και µαθηµατικό Philippe De la Hire µε τις εργασίες του "Traire de Mécanique" (1695) και "Sur la Construction des voûtes dans les édifices" (1712). Ο De la Hire ήταν ο πρώτος, σε µια µακρά σειρά αρχιτεκτόνων – γεωµετρών, που προσπάθησε να εφαρµόσει τη θεωρία του Varignon για την ανάλυση των δυνάµεων στο πρόβληµα της αντοχής των τόξων. Πίστευε ότι παρ' όλο που η γεωµετρία ’ ήταν απαραίτητη σ ένα µηχανικό, η φύση συµπεριφέρεται µε αρκετά περίπλοκο τρόπο για να υπακούσει σε αυστηρούς γεωµετρικούς κανόνες. O De la Hire αναλύει το τόξο σε στοιχειώδεις σφήνες τις οποίες θεωρεί σαν απολύτως στερεά σώµατα και απολύτως λεία (αγνοεί την τριβή ανάµεσα τους). Το βασικό µειονέκτηµα της προσέγγισης δεν είναι τόσο η παράβλεψη της παραµόρφωσης όσο η παράλειψη της τριβής. Η συνεισφορά του De la Hire είναι σηµαντική αλλά η διαστασιολόγηση που συνεπάγεται οδηγεί σε διάφορα παράδοξα και έρχεται σε αντίφαση µε τα πειραµατικά δεδοµένα. Παρ' όλα αυτά αποτελεί την αρχή για µια συστηµατική ο προσέγγιση της στατικής των τόξων και θα δεσπόσει σε όλο τον 18 αιώνα. Στο πρόβληµα του καθορισµού των διαστάσεων των βάθρων που πραγµατεύεται στο δεύτερο έργο του, o De la Hire εισάγει µια νέα οπτική για την ερµηνεία της συµπεριφοράς του τόξου. Πρόκειται για ένα υπολογισµό σε αστοχία από θραύση, o De la Hire καθορίζει ένα πιθανό µηχανισµό κατάρρευσης του τόξου σε τρία µέρη και προσπαθεί να εκφράσει την οριακή κατάσταση ισορροπίας.Αξίζει να σηµειωθεί η συνεισφορά του Claude Antoine Couplet (1642-1722) µε τα δυο µνηµόνια του στην Βασιλική Ακαδηµία Επιστηµών: "De la pousee des voûtes" (1731) και το δεύτερο µέρος της (1732). Εισάγει την έννοια της τριβής ανάµεσα στα µέλη του τόξου χωρίς όµως να δώσει ποσοτική εκτίµηση γι' αυτήν. Ασχολείται επίσης µε το πρόβληµα της στατικής των ξύλινων αψιδοτύπων. Καταλήγει σ' ένα κανόνα διαστασιολόγησης που συναντήσαµε ήδη στον Leonardo da Vinci ότι δηλαδή επαρκής όρος για την ισορροπία µιας τοξωτής κατασκευής είναι "η χορδή του µισού του εξωραχίου να µην τέµνει το εσωράχιο αλλά να βρίσκεται σε όλα τα σηµεία της στο εσωτερικό του πάχους του τόξου". ΄O Belidor στο έργο του "La science des Ingénieurs dans la conduite des travaux de fortification et d architecture civile" (1729) βασίζεται στην θεώρηση του De la Hire και δίνει απλοποιηµένους τρόπους υπολογισµού του "µεγέθους των βάθρων για κάθε τύπο τόξου" απευθυνόµενος ακόµα και σ' αυτούς "που δεν ξέρουν άλγεβρα" πιστός στον εκλαϊκευτικό και τεχνικό χαρακτήρα της πραγµατείας του. Για µικρά ανοίγµατα o Belidor συνιστά τον γραφικό κανόνα που αναφέραµε στην αρχή του κειµένου.Το πρώτο βιβλίο περί γεφυρών, που απευθύνεται σε επαγγελµατίες, "Traite des Ponts", γράφτηκε το 1727 από τον Η. Gautier, µηχανικό του Corps des Ponts et Chausses. Στο πρώτο του µέρος ανέφερε έναν κατάλογο διάσηµων γεφυρών και τα υποδείγµατα των Alberti και Palladio, εξηγούσε τους διάφορους τεχνικούς όρους και τους κανονισµούς του ''Σώµατος των Μηχανικών''. Είχε ακόµα υποδείγµατα προϋπολογισµού και την µέθοδο του Vauban για τον υπολογισµό τοίχων αντιστήριξης. ΄ Παρ όλο που πίστευε στην εφαρµογή των µηχανικών µεθόδων έβρισκε την θεωρία του De la Hire πολύπλοκη για τον µηχανικό της πράξης και σύστηνε γραφικές µεθόδους για τον υπολογισµό των βάθρων κλπ.Το εξώφυλλο του βιβλίου του H. Gautier Το 1734 ο Fierté Bouguer παρουσιάζει στην Ακαδηµία το πρώτο µνηµόνιο που ασχολείται µε τους τρούλους. Το κύριο αποτέλεσµα της δουλειάς του Bouguer είναι ότι γενίκευσε στο χώρο µια ιδιότητα των τόξων ήδη γνωστή στους επιστηµονικούς κύκλους. Το 1704 o Giacomo Bernoulli είχε αποδείξει ότι ένα τόξο µε µορφή σχοινοειδούς ή αλυσοειδούς καµπύλης ανεστραµµένο αντέχει το ίδιο βάρος του όποιο και αν είναι το πάχος του. Ήταν λογικό να υποθέσει κανείς ότι αυτή η ιδιότητα θα ίσχυε και για τρούλους που προκύπτουν από την περιστροφή περί κατακόρυφο άξονα µιας κατάλληλα διατεταγµένης καµπύλης. Η µορφή του τρούλου που συνιστά ο Bouguer είναι εκείνη ενός οµογενούς πανιού που κρέµεται από ένα οριζόντιο κύκλο. Αναζητεί και εκφράζει αναλυτικά την ιδανική καµπύλη για την δηµιουργία θόλου εκ περιστροφής και αποδεικνύει ότι κάθε άλλη καµπύλη, που ξεκινώντας από την ίδια κατακόρυφο αποµακρύνεται περισσότερο από τον άξονα έχοντας κατά συνέπεια λιγότερο κοίλη µορφή, µπορεί να δώσει εκ περιστροφής την επιφάνεια ενός επίσης ισορροπηµένου θόλου. Μετά το 1770 η θεωρία για τα τόξα και τους θόλους παίρνει ένα χαρακτήρα περισσότερο ακαδηµαϊκό, γίνεται αντικείµενο µελέτης επιφανών µαθηµατικών που συχνά φαίνονται να διασκεδάζουν, επιδεικνύοντας ατελείωτους αλγόριθµους και περίπλοκες υποθέσεις όπως το έργο του Bossut στη Γαλλία και στη συνέχεια του Mascheroni και του Salimbeni στην Ιταλία. Το κατασκευαστικό πρόβληµα και η ανάγκη πρακτικής εφαρµογής ξεχνιoύνται για χάρη της λεπτόλογης αναλυτικής επεξεργασίας που εξαφανίζει το θέµα των τόξων και των θόλων αντικαθιστώντας το από το πρόβληµα των ελαστικών καµπυλών και των αντίστοιχων διαφορικών εξισώσεων. Σοβαρό βήµα στην κατανόηση της λειτουργίας των τόξων αποτελεί η εργασία του Charles Coulomb "Essai sur une application de maximis et minimis a quelques problèmes de statique, relatifs a l' Architecture" που παρουσιάστηκε στην Βασιλική Ακαδηµία Επιστηµών το 1773. Σε αυτήν ο Coulomb, αφού εξετάζει τα τόξα των οποίων οι αρµοί δεν έχουν τριβή και συνοχή, προχωρεί στην εξέταση της "ισορροπίας των τόξων µε συνυπολογισµό της τριβής και της συνοχής". Ο Coulomb όχι µόνο εµπλουτίζει το υπολογιστικό µοντέλο µε παραµέτρους που προσεγγίζουν καλύτερα την φυσική και πειραµατική πραγµατικότητα, αλλά αλλάζει και το αντικείµενο της έρευνας: από την αναζήτηση της ιδεώδους καµπύλης σχεδιασµού στον προσδιορισµό των δυνάµεων που επενεργούν σε µια δεδοµένη µορφή τόξου. Για την έρευνά του ο Coulomb θεωρεί τέσσερις οριακές καταστάσεις θραύσης για τις οποίες συντάσσει εξισώσεις (δύο ολίσθησης των λίθων κατά µήκος του αρµού και δύο περιστροφής περί σηµείο του εσωραχίου και του εξωραχίου). Η θέση της θραύσης γίνεται πρόβληµα αναζήτησης µεγίστων και ελαχίστων των εξισώσεων στις οποίες καταλήγει για τις οποίες συνιστά επίλυση µε διαδοχικές δοκιµές. Η όλη ανάλυση καταρρίπτει την αντίληψη ότι η θραύση θα συµβεί σε αρµό µε κλίση 45 µοιρών και χωρίς να το θεµελιώνει αναλυτικά καταλήγει ότι η θραύση ενός τόξου σε τέσσερα µέρη είναι πιθανότερη από ότι σε τρία µέρη σύµφωνα µε την θεώρηση του De La Hire. Η παρατήρηση αυτή ώθησε τον Mascheroni να εγκαταλείψει την θεώρηση του τόξου σαν σφήνας που ωθεί τα αντερείσµατα της και να διατυπώσει αναλυτικές σχέσεις για τον κινηµατικό µηχανισµό κατάρρευσης που αντιπροσωπεύει το παρακάτω σχήµα :Τα πειραµατικά δεδοµένα του Danisy στην Ακαδηµία του Montpellier είχαν καταδείξει ήδη από το 1732 πόσο προβληµατική ήταν η υπόθεση της θραύσης του τόξου σε τρία µέρη σύµφωνα µε την θεώρηση της σφήνας. στόσο εξακολουθεί να χρησιµοποιείται από τους µεγάλους µηχανικούς της εποχής όπως o Perronet και ο Chezy οι οποίοι όµως διορθώνουν την πιθανή θέση θραύσης από τις 45° στις 60° µοίρες. Οι εργασίες του Gauthey πάνω στις βλάβες που παρουσίασε ο θόλος του Πάνθεον στο Παρίσι (1800) και οι παρατηρήσεις του Αρχιµηχανικού της "Ponts et Chausses" Boistard θα εδραιώσουν την αντίληψη της θραύσης των τόξων από περιστροφή σε τέσσερα µέρη. Ο µεγαλύτερος γεφυροποιός του τέλους του 18ου αιώνα ήταν ασφαλώς o Jean Rodolphe Perronet. Ιδρυτής της Ecole des ponts et Chausses, κατασκεύασε αρκετές γέφυρες στο Παρίσι µε πιο διάσηµη την γέφυρα του Neuilly. To 1782 τύπωσε το Description des Projects όπου ανάλυε µερικά από τα έργα του. Περιέγραψε µε µεγάλη λεπτοµέρεια και µε ακριβή σχέδια την κατασκευή της γέφυρας του Neuilly. O Perronet βασιζόταν βασικά στην εµπειρία την οποία θεωρούσε πιο αξιόπιστη από την γεωµετρία και έδινε µεγάλη σηµασία στην συστηµατοποίηση της κατασκευής. Το βιβλίο του δεν είναι µια αναλυτική πραγµατεία για την κατασκευή των γεφυρών αλλά περισσότερο µια προσπάθεια διδασκαλίας µέσα από παραδείγµατα. ∆εν αγνοούσε τα µηχανικά προβλήµατα αλλά η προτίµηση του στα χαµηλά τόξα, µε δεδοµένες τις µεγαλύτερες ωθήσεις που εξασκούν στα βάθρα, και η µείωση των µεσόβαθρων από το ένα πέµπτο του ανοίγµατος στο ένα ένατο περίπου φαίνεται να βασίζονται σε εµπειρικές και όχι αναλυτικές σχέσεις. Την έρευνα του Coulomb συνεχίζει ο στρατιωτικός µηχανικός Audoy και προσπαθεί να δώσει αναλυτικά σχέσεις εύχρηστες για τους αξιωµατικούς του µηχανικού και του πυροβολικού της Metz (1820). Προσπαθεί να προσδιορίσει τις θέσεις θραύσης που αντιστοιχούν στο µέγιστο της οριζόντιας ώθησης στην κλείδα, στην οριακή κατάσταση ισορροπίας από κύλιση ή περιστροφή. Στην ίδια κατεύθυνση κινείται και η έρευνα των Lame και Clapeyron που πραγµατοποιήθηκε στη Ρωσία το 1823 µε την ευκαιρία της ανακατασκευής της εκκλησίας του Αγίου Ισαάκ στην Πετρούπολη. Το µοντέλο που µελετούν είναι η θραύση των κυλινδρικών θόλων σε τέσσερα µέρη µόνο από περιστροφή χωρίς ολίσθηση και προσδιορίζουν τις θέσεις θραύσης και την µέγιστη ώθηση µε αποτελέσµατα ανάλογα του Audoy. Καταλήγουν στην παρακάτω πρόταση - θεώρηµα για την οποία δίνουν και µια µέθοδο γραφικής κατασκευής: "Το σηµείο θραύσης στο εσωράχιο θα είναι τέτοιο ώστε η εφαπτόµενη του θα συναντά την οριζόντια που περνά από την κορυφή του εξωραχίου πάνω στην κατακόρυφο που άγεται από το κέντρο βάρους του ανωτέρου τµήµατος ηµιτόξου που ορίζει το σηµείο θραύσης".Την θεώρηση αυτή επέκτειναν και στους τρούλους υποθέτοντας τον χωρισµό τους µε κάθετους µεσηµβρινούς και κατέληξαν στο συµπέρασµα ότι "σε οµοίους θόλους η θέση των σηµείων θραύσης δεν εξαρτάται από τις απόλυτες διαστάσεις αλλά είναι συνάρτηση µόνο του λόγου µεταξύ του εσωραχίου και του εξωραχίου, πράγµα που βοήθησε στην πινακοποίηση των επιλύσεων. O Emiland Marie Gauthey, Αρχιτέκτονας και επιθεωρητής του Σώµατος Ponts et Chausses ήταν θείος και δάσκαλος του Navier. Το βασικό του έργο Traite de la Construction des Ponts συµπληρώθηκε και εκδόθηκε από τον Navier από το 1809 ως το 1813. Στην πραγµατεία του αυτή o Cauthey κριτικάροντας τους προηγούµενους συγγραφείς, Petronet, ότι έδωσαν απλά παραδείγµατα κατασκευών, προσπάθησε να δώσει τις γενικές αρχές του σχεδιασµού των γεφυρών. Πίστευε ότι τίποτα σε µια γέφυρα δεν θα έπρεπε να είναι αυθαίρετο, συµβολικό και έξω από την µαθηµατική ανάλυση. Όλοι οι παράγοντες που καθορίζουν τον σχεδιασµό µιας γέφυρας πρέπει να υπόκεινται σε µαθηµατικούς κανόνες. Σύµφωνα µε την ανάλυση του πέντε βασικοί παράγοντες έπρεπε να λαµβάνονται υπ' όψη : 1)η εκλογή της θέσης 2) η παροχή του ποταµού 3) η µορφή των τόξων 4) οι διαστάσεις των τόξων και 5) το πλάτος της γέφυρας. Όλοι αυτοί η παράγοντες ήταν οι µεταβλητές που έπρεπε να συντεθούν κατά ορθολογικό τρόπο στα πλαίσια ενός µαθηµατικού τύπου για να επιτευχθεί το βέλτιστο αποτέλεσµα. Στο πρόβληµα του καθορισµού των διαστάσεων των βάθρων ο Cauthey υιοθέτησε την λύση του Coulomb που λάµβανε υπ’ όψη του την τριβή για τον υπολογισµό της ώθησης και έδωσε µαθηµατικούς τύπους που ποσοστικοποιούσαν κάθε πλευρά της κατασκευής, αποκλείοντας έτσι κάθε υποκειµενισµό στην αντιµετώπιση των προβληµάτων. Τον 19ο αιώνα έχουµε µια σταδιακή στροφή στον τρόπο αντιµετώπισης του θέµατος σαν συνέπεια της ανάπτυξης της επιστήµης της µηχανικής και ιδιαίτερα της θεωρίας της ελαστικότητας. Το θεωρητικό µοντέλο του συστήµατος των στερεών και απαραµόρφωτων µελών του τόξου εγκαταλείπεται σιγάσιγά, έχοντας δώσει ότι µπορούσε στην περιγραφή του φαινοµένου, και αντικαθίσταται από την θεωρία της ελαστικής ράβδου µε καµπύλο άξονα και την θεωρία των κελυφών και των µεµβρανών. Η ασάφεια που διακρίνει τις θεωρίες που αναφέραµε παραπάνω είναι σήµερα προφανής αν σκεφτούµε το µοντέλο του αµφίπακτου ελαστικού τόξου που σαν υπερστατικός φορέας δεν είναι δυνατόν να επιλυθεί µε µόνες τις βασικές εξισώσεις ισορροπίας της στατικής. Έτσι είναι φυσικό που οι προηγούµενες θεωρίες δεν µπόρεσαν να προσδιορίσουν µε σαφή τρόπο ούτε τον ακριβή µηχανισµό θραύσης -τις θέσεις που αυτή θα συµβεί για δεδοµένη φόρτιση- ούτε την ακριβή θέση εφαρµογής της ώθησης στην κλείδα του τόξου. Ο Luis Navier ασχολήθηκε σε αρκετές του εργασίες µε την στατική του τόξου. Τόσο στις σηµειώσεις πάνω στο "Science des Ingénieurs" του Belidor, όσο και στα σχόλια του στο "Traite de la construction des ponts" του Gauthey, όσο τέλος και στις δικές του παραδόσεις στην Ecole des Ponts et Chaussées που εκδόθηκαν το 1826 µε τον τίτλο "Résume des leçons. sur l'application de la mécanique". Σ' αυτές o Navier εισάγει την έννοια της τάσης που κατανέµεται σε κάθε σηµείο µιας διατοµής. Παίρνει υπόψη του τη θλιπτική αντοχή του υλικού και θεωρεί οριακή κατάσταση την ανάπτυξη των οριακών τάσεων που µπορεί να φέρει το υλικό, άρα, θεωρεί στις κρίσιµες διατοµές τριγωνική κατανοµή των θλιπτικών τάσεων. Με τον τρόπο αυτό και αγνοώντας τις διατµητικές τάσεις και την παραµόρφωση υπολογίζει την οριζόντια ώθηση που αναπτύσσεται στην κλείδα του τόξου ελαφρά µεγαλύτερη από αυτήν που προκύπτει από την θεώρηση της ισορροπίας του απολύτως στερεού και άπειρης αντοχής σώµατος. Μερικά χρόνια µετά, το 1831, εµφανίζεται το έργο του F.J.Gerstner "Handbuch der Mechanik" όπου εισάγονται για πρώτη φορά δυο έννοιες που στην συνέχεια θα χρησιµοποιηθούν αρκετά συχνά στην µελέτη του τόξου: η καµπύλη της αντοχής και η καµπύλη των πιέσεων. Η πρώτη είναι το πολύγωνο που ενώνει τα σηµεία εφαρµογής της πίεσης στις διάφορες διατοµές του τόξου που µε πολλαπλασιασµό των τοµών µεταπίπτει σε καµπύλη. Η δεύτερη είναι η καµπύλη που εφάπτεται στις γραµµές επενέργειας των δυνάµεων αυτών.Για να υπάρχει ισορροπία θα πρέπει η καµπύλη της αντοχής να περνά από το εσωτερικό του τόξου, αν τέµνει το εξωράχιο κάτω από µια ορισµένη γωνία η θραύση επίκειται στην αντίστοιχη θέση, αν αντίθετα εφάπτεται σε ένα από τα όρια η περιστροφή των µελών του τόξου επίκειται και αντιστοιχεί σε µια κατάσταση ισορροπίας που µόνο άπειρης αντοχής υλικό θα µπορούσε να φέρει. Από την άλλη µεριά η γωνία µε την οποία η καµπύλη των πιέσεων τέµνει τους αρµούς θα πρέπει να συσχετισθεί µε την γωνία τριβής: αν απέχει πολύ από την ορθή τότε είναι πιθανή η ολίσθηση. O Gerstner αντιλαµβάνεται ότι είναι δυνατόν να χαραχθούν άπειρες καµπύλες πιέσεως από διάφορα σηµεία της κλείδας που να είναι εφαπτόµενες σε διάφορα σηµεία του περιγράµµατος και να ικανοποιούν κατά συνέπεια τις συνθήκες ισορροπίας. Το πρόβληµα είναι βέβαια ποια από όλες είναι η πραγµατική. Στο ερώτηµα αυτό ο Gerstner δεν απαντά σωστά εξ' αιτίας του υπερστατικού χαρακτήρα του προβλήµατος. Η ασάφεια που απορρέει από την υπερστατικότητα του προβλήµατος αποτέλεσε ένα παράδοξο για τους µηχανικούς της εποχής που δεν µπορούσαν να δεχθούν ότι στην περίπτωση ενός στερεού συστήµατος παύει να ισχύει η βασική αρχή της φυσικής για την αµφίδροµη σχέση µεταξύ αιτίων και αποτελέσµατος. Έτσι προσπάθησαν να βρουν άλλο ένα στατικό κριτήριο για να άρουν την αβεβαιότητα. Στην αρχή η προσπάθεια στράφηκε στην αναζήτηση κάποιου στατικού κριτηρίου µεγίστων και ελαχίστων που, αν και σε λάθος κατεύθυνση, οδήγησε µετά από πολλές προσπάθειες στην εισαγωγή των ενεργειακών κριτηρίων, µε το κριτήριο της ελάχιστης δυνατής ελαστικής ενέργειας που οφείλεται στον Federico Menabrea (1858). Στο πρόβληµα του τόξου ήταν ο Η. Moseley αυτός που προσπάθησε να βρει µια λύση βασισµένη πάνω στη θεωρία των µεγίστων και ελαχίστων. Το 1839 υποστηρίζει ότι απ’ όλες τις δυνατές καµπύλες αντοχής που µπορούν να χαραχθούν από ένα σηµείο της διατοµής στη θέση της κλείδας, η πραγµατική περνά από το εξωράχιο της διατοµής της κλείδας και είναι εφαπτόµενη στο εσωράχιο κάνοντας ελάχιστη την τιµή της οριζόντιας ώθησης. Στην κατεύθυνση του Moseley και των παρατηρήσεων του Navier κινείται και η εργασία του Ε. Mery "Sur l' équilibre des voûtes en berceau " (1840) όπου δίνει µια πρακτική µέθοδο που χρησιµοποιείται ακόµα για µικρά τόξα. Η ώθηση κατά τον Mery υπολογίζεται µε την παραδοχή ότι δεν θα αναπτυχθούν τάσεις ελκυσµού σε καµία διατοµή του τόξου. Αυτό σηµαίνει ότι η καµπύλη της αντοχής, που ονοµάζεται πια από τον Mery καµπύλη των πιέσεων, θα πρέπει να βρίσκεται στο εσωτερικό της περιοχής που ορίζουν οι καµπύλες που ενώνουν τα διαδοχικά σηµεία που τριχοτοµούν τις διατοµές (αυτό που σήµερα ονοµάζουµε πυρήνα της διατοµής). Απ' όλες τις καµπύλες πιέσεως που βρίσκονται στο "µεσαίο τρίτο " o Mery συστήνει να υιοθετηθεί αυτή που περνά από το έξω όριο της διατοµής στην κλείδα και το έσω όριο της διατοµής θραύσης που για κυκλικό τόξο o Mery την ορίζει στις 60 µοίρες από την κλείδα. Έτσι η καµπύλη των πιέσεων είναι ορισµένη, σύµφωνα µε τις αρχές της "Γραφοστατικής". Αρκεί να χαραχθεί η σχοινοκαµπύλη των δυνάµεων που είναι εφαρµοσµένες στο τόξο, η οποία να περνά από τρία γνωστά σηµεία. Στο σηµείο αυτό εξαντλείται η σύντοµη αυτή ανασκόπηση µια που στο δεύτερο µισό του 1800 µπαίνουν σε εφαρµογή σύγχρονες θεωρίες της στατικής. Το 1864 κυκλοφορεί ο πρώτος τόµος της Graphishe statik του K.Culmann που δίνει σαφή γραφική λύση σε αρκετά προβλήµατα ανάλυσης φορέων. Μα κυρίως έχουµε την ανάπτυξη της θεωρίας της ελαστικότητας που θα επιλύσει και την περίπτωση του τόξου σαν µια απλή εφαρµογή της ελαστικής δοκού µε καµπύλο άξονα. Η δικαιολογηµένη αντίρρηση που µπορεί να έχει κανείς, αν στην περίπτωση των λίθινων τόξων η εξοµοίωση µε την καµπύλη ελαστική δοκό είναι επιτρεπτή, δεν θεµελιώνεται από πολλαπλά πειράµατα (Winkler 1858, Perrodil 1882, Αυστριακοί Μηχανικοί 1895,1901) που αποδεικνύουν ότι η θεωρία της ελαστικής δοκού δίνει αρκετά ακριβή αποτελέσµατα και στην περίπτωση των λίθινων τόξων. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 1). EDOARDO BENVENUTO :La Scienza delle Gestazioniellsuo sviluppo storico. Manuali Sansoni 1981 Firenze 2). Alberto Perer Gomez :Architecture and the crisis ofModern Science 1983 the M1t Press.
Εισάγετε το όνομά σας. *
Εισάγετε το e-mail σας. *
Μήνυμα
Κάντε ένα σχόλιο για το άρθρο. Το μήνυμα σχολίου σας θα δημοσιοποιηθεί μετά από έγκριση από την αρμόδια Επιτροπή.
*

Σφάλμα

Εισάγετε το όνομά σας.

Σφάλμα

Εισάγετε το e-mail σας.

Σφάλμα

Εισάγετε μήνυμα σχολίου.

Σφάλμα

Προέκυψε ένα λάθος κατά την αποστολή του σχολίου σας, παρακαλώ δοκιμάστε ξανά αργότερα.

Μήνυμα

Το μήνυμα σχολίου απεστάλη επιτυχώς. Θα δημοσιευτεί το συντομότερο δυνατό μετά την έγκριση του από την αρμόδια Επιτροπή.